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モノグラフ講義録M031-060

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紫色の日はお休みです。


モノグラフ31


PrePass Monograph in Mathematics
「M031全称と存在」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(7枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M031全称と存在」
テキスト1冊+解説DVD7枚セット


商品番号  MM-M031
価格37,000円 (税込 39,960 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「述語論理」(predidate logic)を取り上げる。前回に取りあげた「命題論理」(propositional logic)に続く,「数学の文法」に該当する内容である。数学における基礎となる6つのことばがある。
 かつ,または,でない,ならば,すべての,存在する
 and, or, not ,imply は,条件を結びつけるなどして新たな条件を生み出すことばである。all, exist により,量に関する記述が入る。これが述語論理である。これらのことばを正確に理解し,使いこなせるようにすることを目標とした講義を行う。




モノグラフ32


PrePass Monograph in Mathematics
「M032背理法」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(8枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M032背理法」
テキスト1冊+解説DVD8枚セット


商品番号  MM-M032
価格42,000円 (税込 45,360 円) 送料別
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プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「背理法」(Reduction to absurdity)を取り上げる。背理法にはテーマソングがあることをご存知だろうか。
 ♪ハイリハイリフレハイリホ〜
 ♪ハイリハイリフレ〜ホ〜ホ〜
と歌い上げる曲である。私はしばしば教室で唄って聞かせているのだが,そんなのホントにあるの?先生が作曲したのでは?と疑問をもつ生徒さんをチラホラ見かける。「丸大ハンバーグ」 で検索をかけると実在する唄を聴くことができる。




M33


PrePass Monograph in Mathematics
「M0332次式の数学 」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(4枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M0332次式の数学 」
テキスト1冊+解説DVD4枚セット


商品番号  MM-M033
価格22,000円 (税込 23,760 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「2次式の数学」を取り上げる。高校に入学して最初に学ぶ単元の1つであり,検定教科書で学んでいる限りは,さほど難しい単元でもなさそうに思われる。一方,記述式の大学入試においては,この単元は基礎の基礎であるとともに,方程式・不等式・命題と論理・関数としての最大・最小問題などと結びつき,意外と侮れない内容が問われている部分もある。
 そこで,この講義では,2次式にまつわるさまざまな話題を集めるとともに,理系数学としては基本の完成を,文系数学としては主戦場の論点の理解を,それぞれ目指すこととして問題を編成した。参加の皆さんが数学格闘家としてより強くなっていただくことを企図している。なかなかの難敵が目の前に立ちふさがることとなるだろう。 「おい,このやろ〜」の意気込みで取り組んでみてほしい。




M34


PrePass Monograph in Mathematics
「M034多項式と代数方程式」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(8枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M034多項式と代数方程式」
テキスト1冊+解説DVD8枚セット


商品番号  MM-M034
価格42,000円 (税込 45,360 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「多項式」(polynomial)と「代数方程式」(algebraic equation)を取り上げる。数学llの単元としては「式と証明」の一部という取り扱いとなるが,実際には多項式・恒等式などの内容のほかに,三角関数や複素数を使用して初めて,全体像が見えるようになるといえるだろう。本講義は,式と証明は履修済みであるが,三角関数や複素数平面(数学lll)は未修であるというみなさんを対象に,多項式から代数方程式・複素数を架橋し,代数分野の世界観をつくっていただくことを企図している。
 歴史的には,ここで取り上げる代数方程式についての知見は,16世紀ごろにイタリアで行われていた「数学試合」の場で進展していたようである。数学による一騎打ち,シングルマッチが行われていたのだ!この頃,3次方程式・4次方程式の一般的解法(解の公式)が見出された。5次以上の代数方程式には,代数的な解の公式が存在しないことは,19世紀にアーベルによって示され,さらにガロア理論によって証明が簡潔になった。
 こうした歴史も感じながら,数学格闘家としてさらに強くなってもらいたい。




モノグラフ35


PrePass Monograph in Mathematics
「M035相加平均と相乗平均」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(3枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M035相加平均と相乗平均」
テキスト1冊+解説DVD3枚セット


商品番号  MM-M035
価格17,000円 (税込 18,360 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「不等式」(inequality)を取り上げる.一般的な感覚からすると,等しいこと(方程式や恒等式)が分かると価値が高いが,等しくないこと(不等式)が分かってもあまり嬉しくない(?)ように思われるのではないだろうか。ところが,数学の学習が進んでくると,等しいことなんてそんなに簡単に分かるものではない,と気づいてくる。値が分からないものを調べていくときに,不等式を用いて絞り込みをかけると,だんだんと「獲物が追い詰められていく」ことがわかってくる。不等式は,有効な武器になるのである。
 モノグラフでは「相加平均と相乗平均」「コーシー・シュワルツの不等式」「不等式の展覧会」という3冊編成で,不等式についての理解を深め,数学格闘家としてより強くなっていただくことを企図している。




M36


PrePass Monograph in Mathematics
「M036コーシー・シュワルツの不等式」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(4枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M036コーシー・シュワルツの不等式」
テキスト1冊+解説DVD4枚セット


商品番号  MM-M036
価格22,000円 (税込 23,760 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「不等式」(inequality)を取り上げる。一般的な感覚からすると,等しいこと(方程式や恒等式)が分かると価値が高いが,等しくないこと(不等式)が分かってもあまり嬉しくない(?)ように思われるのではないだろうか。ところが,数学の学習が進んでくると,等しいことなんてそんなに簡単に分かるものではない,と気づいてくる。値が分からないものを調べていくときに,不等式を用いて絞り込みをかけると,だんだんと「獲物が追い詰められていく」ことがわかってくる。不等式は,有効な武器になるのである。
 モノグラフでは「相加平均と相乗平均」「コーシー・シュワルツの不等式」「不等式の展覧会」という3冊編成で,不等式についての理解を深め,数学格闘家としてより強くなっていただくことを企図している。なかなかの難敵が目の前に立ちふさがることとなるだろう。




M37


PrePass Monograph in Mathematics
「M037不等式の展覧会」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(3枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M037不等式の展覧会」
テキスト1冊+解説DVD3枚セット


商品番号  MM-M037
価格17,000円 (税込 18,360 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「不等式」(inequality)を取り上げる。一般的な感覚からすると,等しいこと(方程式や恒等式)が分かると価値が高いが,等しくないこと(不等式)が分かってもあまり嬉しくない(?)ように思われるのではないだろうか。ところが,数学の学習が進んでくると,等しいことなんてそんなに簡単に分かるものではない,と気づいてくる。値が分からないものを調べていくときに,不等式を用いて絞り込みをかけると,だんだんと「獲物が追い詰められていく」ことがわかってくる。不等式は,有効な武器になるのである。
 モノグラフでは「相加平均と相乗平均」「コーシー・シュワルツの不等式」「不等式の展覧会」という3冊編成で,不等式についての理解を深め,数学格闘家としてより強くなっていただくことを企図している。なかなかの難敵が目の前に立ちふさがることとなるだろう。




M38


PrePass Monograph in Mathematics
「M038近似式と数値計算」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(3枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M038近似式と数値計算」
テキスト1冊+解説DVD3枚セット


商品番号  MM-M038
価格17,000円 (税込 18,360 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「近似式」(approximation)と「数値計算」(numerical calculation)を取り上げる。高等学校数学lllの教科書では,微分の単元の最後の方にちょこっと掲載されているだけの地味な内容に思われるかもしれな。また,大学入試での出題例も少ないので,多くの受験生があまり深くは気に留めていないように思われる。しかし,難関校では,近似式から数値計算にかけての出題例が見られる。だから,モノグラフ・シリーズで取り上げることとした。
 この単元では一見するとアバウトな議論をしているように見える数式がある。教科書や,準拠問題集での取り上げ方も同様である。ところが,難関大学の入試では,アバウトな議論はしていない。不等式を使って議論しているのである。近似式と不等式の周りにあることがらは,大学進学後の「解析学」を学ぶにあたって,重要な基礎をつくる。だから,しっかり考えよう。




モノグラフ39


PrePass Monograph in Mathematics
「M039複素数(数の側面)」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(9枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M039複素数(数の側面)」
テキスト1冊+解説DVD9枚セット


商品番号  MM-M039
価格47,000円 (税込 50,760 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「複素数(数の側面)」である。複素数はいろいろな側面をもっている。本シリーズではこれを「数の側面」,「図形の側面」と名づけて,2分冊にて取り上げることとした。
 複素数について,とりわけオイラーの公式の周辺の内容について学ぶと,深遠な世界観に触れることができるだろう。高校の教科書で学んだ多くの単元が,地下水脈でつながっていた,という事実に触れることで,誰もが驚き,感動を覚える。そういう世界に触れながら,数学格闘家として,さらに強くなろう!




モノグラフ40


PrePass Monograph in Mathematics
「M040複素数(数の側面)」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(6枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M040複素数(図形の側面)」
テキスト1冊+解説DVD6枚セット


商品番号  MM-M040
価格32,000円 (税込 34,560 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「複素数(図形の側面)」である。複素数はいろいろな側面をもっている。本シリーズではこれを「数の側面」,「図形の側面」と名づけて,2分冊にて取り上げることとした。
 複素数について,とりわけオイラーの公式の周辺の内容について学ぶと,深遠な世界観に触れることができるだろう。高校の教科書で学んだ多くの単元が,地下水脈でつながっていた,という事実に触れることで,誰もが驚き,感動を覚える。そういう世界に触れながら,数学格闘家として,さらに強くなろう!




モノグラフ41


PrePass Monograph in Mathematics
「M041数列の極限」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(6枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M041数列の極限」
テキスト1冊+解説DVD6枚セット


商品番号  MM-M041
価格32,000円 (税込 34,560 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「数列の極限」を取り上げる。極限という学習項目は,微分・積分を取り上げる書物の中ではいつも冒頭にでてくる。配列は概ね,極限→微分法→積分法とすすむ。ところが,ある程度の問題を解くような段階に入ると,極限の問題がいちばん難しい。それはどういう事情なのだろうか。
 教科書において極限が最初に取り上げられるのは,理論的な構成上,極限がもっとも上流(源流)に位置づけられるからである。微分を定義するには極限の概念を必要とするし,積分を定義するにおいても同様であるからだ。一方,大学受験レベルで問題演習に取り組むようになると,極限の問題を倒すには,微分も積分も,みんな理解している必要がある。そういう単元内容なのである。




M42


PrePass Monograph in Mathematics
「M042関数と極限」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(6枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M042関数と極限」
テキスト1冊+解説DVD6枚セット


商品番号  MM-M042
価格32,000円 (税込 34,560 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「関数と極限」を取り上げる。極限という学習項目は,微分・積分を取り上げる書物の中ではいつも冒頭にでてくる。配列は概ね,極限→微分法→積分法とすすむ。ところが,ある程度の問題を解くような段階に入ると,極限の問題がいちばん難しい。それはどういう事情なのだろうか。
 教科書において極限が最初に取り上げられるのは,理論的な構成上,極限がもっとも上流(源流)に位置づけられるからである。微分を定義するには極限の概念を必要とするし,積分を定義するにおいても同様であるからだ。一方,大学受験レベルで問題演習に取り組むようになると,極限の問題を倒すには,微分も積分も,みんな理解している必要がある。そういう単元内容なのである。




M43


PrePass Monograph in Mathematics
「M043微分法とその応用」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(7枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M043微分法とその応用」
テキスト1冊+解説DVD7枚セット


商品番号  MM-M043
価格37,000円 (税込 39,960 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「微分法とその応用」を取り上げる。微分法は,計算(第1章)をし,増減を調べ,グラフを描く(第3章)だけなら簡単に思われるところだが,一連の講座では背後にある抽象的なところまでしっかり理解してもらうことを目指して問題選定をしている。とりわけ,平均値の定理(第2章),数値計算(第6章)といったあたりの内容にしっかり取り組んでいけば,より強い数学格闘家に育つプロセスとなるだろう。




M44


PrePass Monograph in Mathematics
「M044積分の計算 」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(3枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M044積分の計算 」
テキスト1冊+解説DVD3枚セット


商品番号  MM-M044
価格17,000円 (税込 18,360 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「積分の計算」をお届けする。微分・積分を「いい気分!」で過ごしていくには,計算力を確固たるものとして身に着けておくことが必要条件となる。ところが,積分法の計算は,個別の式の形によって使う技法が細分化されている。極端にいえば,ある場所の符号が違うだけで,使う計算手法が全く異なることだってある。そういう意味では,積分の計算に習熟するというのは,経験値を上げて暗黙知をつくっていくことに他ならない。

 ところで数学が大好きな諸君であれば「あまり覚えなくてもやっていける科目だから」という理由で得意科目にしている人も多いことだろう。まさに,正しい学習法である。積分の計算は,ある程度の技術を覚えて身に付けることが必要であるが「この場合はこうする,あの場合はああする」などと闇雲に覚えていけばよいというものでもない。やはり,仕組みやメカニズムをしっかり「理解する」ことが大切なのである。そういう知見が得られるような講義を目指した。ビジョンをもって学び,計算の海に溺れないようにしてもらえれば幸いである。




M45


PrePass Monograph in Mathematics
「M045定積分と関数」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(4枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M045定積分と関数」
テキスト1冊+解説DVD4枚セット


商品番号  MM-M045
価格22,000円 (税込 23,760 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回からは,積分にまつわる話題として,「定積分と関数」「定積分と数列」「定積分と不等式」を,一連の講義として取り上げる。積分の計算はできるようになった,という高校生を想定し,積分法がどのような意味をもって応用できるのか,を考える段階に入る。
 定積分じたいが関数になる。それを微分する。定積分が数列になる。その数列がみたす漸化式をつくる。定積分に関わる不等式をつくり,はさみうちの原理をフィニッシュホールド(最後の決め技)として極限値を求める(証明する)といった技術を習得してもらいたい。
 微分・積分は,近代に整ってきた数学なので,古典の数学に比べて記号が多く,最初は手強く感じるかもしれない。一方,近代に形成されたので,技術としてもこなれてきている。時間をかけて向き合う努力をすれば,克服できる。




M46


PrePass Monograph in Mathematics
「M046定積分と数列」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(5枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M046定積分と数列」
テキスト1冊+解説DVD5枚セット


商品番号  MM-M046
価格27,000円 (税込 29,160 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回からは,積分にまつわる話題として,「定積分と関数」「定積分と数列」「定積分と不等式」を,一連の講義として取り上げる。積分の計算はできるようになった,という高校生を想定し,積分法がどのような意味をもって応用できるのか,を考える段階に入る。
 定積分じたいが関数になる。それを微分する。定積分が数列になる。その数列がみたす漸化式をつくる。定積分に関わる不等式をつくり,はさみうちの原理をフィニッシュホールド(最後の決め技)として極限値を求める(証明する)といった技術を習得してもらいたい。
 微分・積分は,近代に整ってきた数学なので,古典の数学に比べて記号が多く,最初は手強く感じるかもしれない。一方,近代に形成されたので,技術としてもこなれてきている。時間をかけて向き合う努力をすれば,克服できる。




M47


PrePass Monograph in Mathematics
「M047定積分と不等式」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(5枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M047定積分と不等式」
テキスト1冊+解説DVD5枚セット


商品番号  MM-M047
価格27,000円 (税込 29,160 円) 送料別
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 今回は,「定積分と不等式」を取り上げる。積分の計算はできるようになった,という高校生を想定し,積分法がどのような意味をもって応用できるのか,を考える段階に入る。
 定積分じたいが関数になる。それを微分する。定積分が数列になる。その数列がみたす漸化式をつくる.定積分に関わる不等式をつくり,はさみうちの原理をフィニッシュホールド(最後の決め技)として極限値を求める(証明する)といった技術を習得してもらいたい。
 微分・積分は,近代に整ってきた数学なので,古典の数学に比べて記号が多く,最初は手強く感じるかもしれない。一方,近代に形成されたので,技術としてもこなれてきている。時間をかけて向き合う努力をすれば,克服できる。





M48


PrePass Monograph in Mathematics
「M048はさみうちの原理」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(8枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M048はさみうちの原理」
テキスト1冊+解説DVD8枚セット


商品番号  MM-M048
価格42,000円 (税込 45,360 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「はさみうちの原理」(Squeeze theorem, sandwich theorem)を取り上げる。極限値を直接に計算しにくいような場面であっても,これを極限値を計算しやすい2つの関数(数列)ではさむことができるならば,はさみうちの原理によって間接的に極限値を得ることができる。大学受験においては頻出・必須の技術である。
 高校数学では,これを証明不要の「原理」として取り扱うが,それは高校数学において,極限の概念を感覚と直観に頼る構成をとるという事情による。ε −δ 論法による極限の定義から始める構成に立てば,証明可能な「定理」ということになる。
 余談が,イタリアやロシアでは「2人の警察官の定理」というそうだ。囚人が2人の警察官に挟まれているときには,2人の警察官が部屋に入るときには囚人も同じ部屋に入ることになる,ということだ。  微分・積分(解析学)というのは,不等式の学問である。本講座を通じて不等式の取り扱いに習熟し,強い数学格闘家に育ってほしい。




M49


PrePass Monograph in Mathematics
「M049級数と数値計算 」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(5枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M049級数と数値計算 」
テキスト1冊+解説DVD5枚セット


商品番号  MM-M049
価格27,000円 (税込 29,160 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回のテーマは「級数と数値計算」(Series and Numerical computation)に設定した。
 1990年台の末ごろから,東京大学(理系数学)の出題に新しい色が見え始めた。不等式の重視と,それに伴う数値計算へのこだわりである。文科省のゆとり教育政策にチクリと嫌味を放ったとして社会的に話題になった出題「 円周率が 3.05 より大きいことを証明せよ」(2003年)も,不等式と数値計算の文脈に置いてみると,前後の出題との間で整合性を保つ説明がつくように思われるのである。
 今回は,微分・積分を活用した数値計算的アプローチを研究する講義とすることにした。第1章(東大の数値計算志向),第2章(有名な級数),第3章(近似値・テイラー展開),第4章(試練の問題集より)という構成でお届けする。小数点以下の細かい数値と向き合い,闘いぬくという粘りを身に着けて,数学格闘家として,さらに強くなろう!




モノグラフ50


PrePass Monograph in Mathematics
「M050微分方程式」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(10枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M050微分方程式」
テキスト1冊+解説DVD10枚セット


商品番号  MM-M050
価格52,000円 (税込 56,160 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「微分方程式」(differential equation)を取り上げる。関数f(x)が満たす恒等式が与えられて,ここから関数f(x)を求めようというタイプの問題のことを関数方程式という。関数方程式の中で,f(x)だけでなくその導関数あるいは高次導関数を含むような方程式を,微分方程式という。
 微分方程式は,高校生の学習としては,1997年卒業の学年までは学習指導要領においても学ぶ対象とされていたが,1997年卒から2014年卒までの18年間にわたり,学習指導要領では「微分方程式は取り扱わない」ものとされていた。暗黒の時代である。ところが,暗黒の時代においても,誘導をつけるとか,微分方程式を「差分化」するという手法などを使って,実は細々と出題はあった。今回の講義では,暗黒の時代を脱出する(2015年卒の学年から,微分方程式が教科書に復活した)ことを記念して,微分方程式を特集するものである。




M51


PrePass Monograph in Mathematics
「M051円周率」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(4枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M051円周率」
テキスト1冊+解説DVD4枚セット


商品番号  MM-M051
価格22,000円 (税込 23,760 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回のテーマは「円周率」だ。
 我が帝国の周囲には,闇の反面狂師「算数仮面ブラック」がうろうろしている。奴は額に「3」を刻印し,しばしば授業を制圧しては「円周率は約3なのだ!日本のよい子たちはよく覚えておけ」などとほざいている。
 一方で,円周率の近似値を知っている立場としては「ブラックめ!何をとんでもないことを言うのだ!」と腹立たしくなるところなのだが,よくよく考えてみると,円周率がおよそ3.14 程度の値であるという事実すら,実は小学校で教わったものの,自分の力でそれを確かめたことがあるという人もあまりいない。東京大学の有名な出題
  「 円周率が 3.05 より大きいことを証明せよ。」
とは,学習指導要領にイヤミを述べているだけでなく,高校生たちの学習の足元を照らしてくれているのだ。今回はその意図を汲んで,しっかりと学ぶことにしよう。





M52


PrePass Monograph in Mathematics
「M052Β関数とΓ関数 」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(3枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M052Β関数とΓ関数 」
テキスト1冊+解説DVD3枚セット


商品番号  MM-M052
価格17,000円 (税込 18,360 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回のテーマは「ベータ関数とガンマ関数」だ。
 数学lllの定積分を勉強していると,定積分なのに,それが関数になってみたり,数列になってみたりする。高校の学習単元の分類上は,別の単元で取り扱われている内容が,どうやらつながっているらしい。これはどんなしくみになっているのだろうか。
 そのような好奇心に応えるには,進学後に学ぶ大学の数学をちょっとかじってみるとよい。そこで,大学で学ぶ数学を,高校生にも自然に理解できるよう架橋することを試みた。もちろん,大学受験にも役立つ形で。




M53


PrePass Monograph in Mathematics
「M053微分♪積分♪いい気分」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(7枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M053微分♪積分♪いい気分」
(気象大学校の数学)vol.1
テキスト1冊+解説DVD7枚セット


商品番号  MM-M053
価格37,000円 (税込 39,960 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「微分♪積分♪いい気分」と題して,気象大学校(採用試験)の数学を取り上げる。気象大学校は,実務にあたる人材を養成する教育機関であることから,その入学試験も「採用試験」という性格を帯びている。試験問題から窺うことができることは,数学を使いこなせる人材を求めているということである。
 このテキストを編集するにあたり,気象大学校の過去39年(1975-2013)にわたる採用試験問題を検索した。はっきり見えるのは,出題範囲が微分・積分を重視していることと,その要求レベルがかなり高いということである。採用試験という性格をも加味すれば,実務で数学を使いこなせる力を求めているとみられる。だから,高度な「♪微分♪積分」を楽しく学ぶことが直接的で最良の対策ということになる。実力がつけば「♪いい気分」になることができる。





M54


PrePass Monograph in Mathematics
「M054微分♪積分♪いい気分」vol.2
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(7枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M054微分♪積分♪いい気分」
(気象大学校の数学)vol.2
テキスト1冊+解説DVD7枚セット


商品番号  MM-M054
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 今回は「微分♪積分♪いい気分」と題して,気象大学校(採用試験)の数学を取り上げる。気象大学校は,実務にあたる人材を養成する教育機関であることから,その入学試験も「採用試験」という性格を帯びている。試験問題から窺うことができることは,数学を使いこなせる人材を求めているということである。
 このテキストを編集するにあたり,気象大学校の過去39年(1975-2013)にわたる採用試験問題を検索した。はっきり見えるのは,出題範囲が微分・積分を重視していることと,その要求レベルがかなり高いということである。採用試験という性格をも加味すれば,実務で数学を使いこなせる力を求めているとみられる。だから,高度な「♪微分♪積分」を楽しく学ぶことが直接的で最良の対策ということになる。実力がつけば「♪いい気分」になることができる。





M55


PrePass Monograph in Mathematics
「M055求積法」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(7枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M055求積法」
テキスト1冊+解説DVD7枚セット


商品番号  MM-M055
価格37,000円 (税込 39,960 円) 送料別
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 プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
 今回は「求積法」(quadrature method)を取り上げる。とりわけ,立体の体積の求め方に照準を絞る。理系の大学入試においては,主戦場だ。
 第1章では通常タイプの回転体の求積を取り上げることで,定積分の応用としての体積計算の基礎を確認する。第2章ではいわゆる「バウムクーヘン分割」「斜軸回転」をとりあげる。単に計算をバイパスするテクニックということではなく,体積要素とは何かということをしっかり考える。第3章では立体の共通部分の体積を求めるという類型の問題を考える。いちばん,難問が豊富な主戦場である。第4章では,体積にまつわる証明問題を取り上げる。
 取り組んでみるとわかることだが,これらの問題たちは,かなり強い。これらの問題たちとの闘いの修羅場を越えれば,数学格闘家として,かなりつよくなるはずだ。





M56


PrePass Monograph in Mathematics
「M056立体図形の体積 」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(5枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M056立体図形の体積 」
テキスト1冊+解説DVD5枚セット


商品番号  MM-M056
価格27,000円 (税込 29,160 円) 送料別
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 今回は「立体図形の体積」を取り上げる。理系の大学入試においては,主戦場だ。
 第1章では体積要素に関する理解を深め,定積分の応用としての体積計算の基礎を確認する。第2章では不等式を用いて表される立体(不等式をみたす点の集合)をとりあげる。第3章では回転体の体積を求める。単に,xy平面に描かれた図形を回すというだけではない,空間内での回転を把握するような類型の問題を考える。第4章では,点が移動しながら立体を作り出すタイプの問題を取り上げる。
 取り組んでみるとわかることだが,これらの問題たちは,かなり強い。これらの問題たちとの闘いの修羅場を越えれば,数学格闘家として,かなりつよくなるはずだ。




M57


PrePass Monograph in Mathematics
「M057数列で倒す整数論」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(7枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M057数列で倒す整数論」
テキスト1冊+解説DVD7枚セット


商品番号  MM-M057
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 今回は「数列で倒す整数論」と題して,整数問題を取り上げる。学習指導要領における整数の単元は,従来は「数と式」の中で軽く扱われた程度であったが,大学入試では伝統的に出題が続けられてきた。それが,今般の指導要領の改訂により,初めて「整数の性質」(数学A)が独立した単元として明示的に設置された。
 教科書で取り扱われているのは,約数・倍数の議論,剰余の議論,ユークリッド互除法と不定方程式の議論などである。しかし,あまり深く突っ込んだ議論にはなっていない。それは「数列」が数学Bに配当されているために,数学Aの段階で数列の考え方や技術を使うような議論ができないという事情による。教科書検定というのは,このあたりのことについてはエラく細かい「配慮」をしているものなのである。
 そこで今回の講義では,検定教科書の「整数の性質」および「数列」における議論は一通りマスターできたという受験生を対象に,これらの2つの単元の知識を組合せて倒すような問題と闘ってみることとした。




M58


PrePass Monograph in Mathematics
「M058数列で倒す理系数学」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(4枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M058数列で倒す理系数学」
テキスト1冊+解説DVD4枚セット


商品番号  MM-M058
価格22,000円 (税込 23,760 円) 送料別
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 今回は理系の皆さんを対象に,主として数学lllの内容から「数列で倒す理系数学」と題した講義を組みました。数列という単元は,教科書では数学Bと数学lllに分かれて配置されていますが,多くの学習内容をつなぐ結節点となるような重要な単元です。規則性を一般化した形で表現する技術という側面から,数列は数論(整数論)の中で一定の重要な役割を果たします。和(Σ)の計算や漸化式を用いて処理をする技術は,確率の問題の中でも試行を繰り返す場合に威力を発揮します。
 微分・積分においては,数列は関数として機能します。変数 x (連続量)の関数 f (x) とパラレルな概念として,変数 n(離散量)の関数として a(n)を考えることができます。離散量と連続量の間でアナロジー(類比)を考えてみると,数列の階差数列(差分),数列の和(和分)はそれぞれ関数の微分,積分に対応します。数列の漸化式は,関数方程式(微分方程式)に対応します。
 数列の極限を考えることで,積分法(区分求積法)の考えにつながります。最後に,不等式と極限値の関係を述べる「はさみうちの原理」と,それを利用した収束の証明ができるようになると,実力者の仲間入りです。
 数列は,抽象度が上がるので,苦手とする人が多い単元ですが,理系数学においては枢要な単元であるので,ここでがんばって制圧してしまいましょう。






M59


PrePass Monograph in Mathematics
「M059京大ルチャ数学入門」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(2枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M059京大ルチャ数学入門」
テキスト1冊+解説DVD2枚セット


商品番号  MM-M059
価格12,000円 (税込 12,960 円) 送料別
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 本書で採り上げる京都大学の過去問は,多くは短い問題文だが,それゆえに切れ味のよいロジックを要求している。京大の数学が,華麗な空中殺法を駆使するルチャ・リブレ(メキシコのプロレス)に喩えられる所以だ。

 以下に,京都大学の数学の特徴を3点あげておこう。

 まず,京都大学は論証を重視する。とりわけ,整数問題や初等幾何の分野に,出題の特徴がみられる。すなわち,数行で終わる鮮やかな答案を書くことだけが,京都大学の数学ではない。問題によっては,ストロング・スタイルの闘い方も必要だ。堅牢なロジックで,ことばによる答案を織り上げるのである。

 また,京都大学は小問に分割しない。よく東京大学の数学と比較されるが,ここは大きな違いだ。問題文はシンプルに「……を求めよ」「……を示せ」と,ズバッと訊いてくる。題意に澱みはない。シンプルな美しさを徹底しているのだ。そこには教育上の意図もある。そもそも,小問に分割して,どこまで出来た(到達した)かをみるのは,試験を実施する側の「受験生の間での分布をつくる」という都合によるものだ。試験の識別力を上げるための措置ではあるが,本来の数学の問題には小問(ヒント)などない。小問に分割しないでズバッと訊いてくるのは,「独り立ちして考えられるようになれ」というメッセージなのだ。

 さらに,京都大学は学習指導要領の枠に閉じこもることを許さない。年度によって異なるが,たとえば文系数学に行列や体積を出題したことがある。しかしこれらは,1996年までの大学入試では,文系数学でも出題範囲となっていたのだ。ゆとり教育・学力低下は許さん,ということだ。「知の殿堂に足を踏み入れたければ,文系であっても,しっかりした数学を学んでこい」というメッセージなのだ。





M60


PrePass Monograph in Mathematics
「M060有理数と無理数 」
 数理哲人 著 B5版
 数理哲人 口述 DVD(2枚)
PrePass Monograph in Mathematics
「M060有理数と無理数 」
テキスト1冊+解説DVD2枚セット


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 今回のテーマは「有理数と無理数」だ。2014年8月に実施された志桜塾(島根県松江市)夏期講習会での講義の模様を収録している。
 学校数学では,有理数と無理数について一応の定義と例を学ぶ.例題としてはいくつかの具体的な数の無理数性を証明する程度まで取り扱うといったところであろう。
 この講習会では, 小数表示における有理数と無理数の違い(第1章),無理数性の判別とその証明(第2章),互除法の手続きの有限・無限との関係(第3章)をとりあげ,数学史における無理数の発見にまつわるエピソードも熱く伝えている。
 講義後に傍聴いただいた高等学校の先生方とお話し,一般的に無味乾燥になりがちな内容を活き活きと伝える講義であったとの感想をいただいた。私の試みを肌で感じていただき,心強い限りであった。




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